விந்தை எண்கள்

அழகானது கணிதம்

ச.சீ.இராஜகோபாலன்

தலை சிறந்த தத்துவ ஞானியும், கணிதப் பேராசிரியராகவும் சமூகப் போராளியாகவும் திகழ்ந்த பெர்ட்ரண்ட் ரஸ்ஸல் கூறுவார்: கணிதம் உண்மையைக் கூறுவது மட்டுமல்ல, அளவிலா அழகு படைத்தது, ஓர் ஒப்புயர்வற்ற சிற்பம் போல கணிதம் அழகுமிக்கது. ராமானுஜனின் இங்கிலாந்து சக கணித அறிஞர் ஹார்டி சொன்னார்: கணிதம் அழகின் உருவம். அழகிலா கணிதம் என்று ஒன்றில்லை.

சமன்பாடுகள்

எண்களில் அமைந்துள்ள ஒழுங்கைப் பற்றிப் பலரும் ஆய்ந்திருக்கிறார்கள்.அவர்களில் பலரும் கணிதத்தில் பட்டம் பெற்றவர் அல்லர். அவர்கள் கணிதத் துறையோடு சம்பந்தப்பட்டவர்களும் அல்லர். பொழுதுபோக்காக எண்களையும், அவற்றில் உள்ள சிறப்புகளையும் கண்டறிய முற்பட்டுப் பல அற்புதங்களை வெளிப்படுத்தியுள்ளனர். நான் சிலவற்றை விவரிக்கிறேன். இவை என்னுடைய கண்டுபிடிப்புகள் அல்ல.

கீழ்க்காணும் எண் சமன்பாடுகளைச் சரிபார்க்கவும். இடப்புறமும் வலப்புறமும் சமமாக இருக்கின்றதா என்று காணவும்.

1+2 = 3

4+5+6 = 7+8

9+10+11+12 = 13+14+15

16+17+18+19+20 = 21+22+23+24

அடுத்த வரி என்னவென்று ஊகிக்க முடியுமா?

10-ஆவது வரியைக் காண முடியுமா?

மேலே உள்ள வரிசைகளின் முதல் உறுப்புகள் முறையே 1, 4, 9, 16. இவற்றுக்கும் எண்வரிசைக்கும் தொடர்பு ஏதேனும் உண்டா?

இடப்புறம் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கைக்கும் வலப்புறம் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கைக்கும் ஏதேனும் சம்பந்தம் உள்ளதா?

எண்களை வரிசைப்படுத்தலி லும், கூட்டல் போடவும் இது ஒன்றாம் வகுப்பு மாணவருக்கு நல்ல பயிற்சியாகும். வர்க்க எண்கள் பற்றி அறிந்ததும் எந்த வரிசையும் காண இயலும். 10-ம் வகுப்பு மாணவர் n-ஆவது வரிசை எழுத முயல்க.

எண் தொடர்புகள்

இப்போது கீழ்க்காணும் எண் தொடர்புகளைச் சரிபார்க்கவும்.

3 2 + 4 2 = 5 2

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 +15 2

21 2 + 22 2 + 23 2 + 24 2 = 25 2 + 26 2 +27 2

அடுத்த வரிசையைக் கூற முடியுமா? கொஞ்சம் யோசிக்கவும். முடியவில்லை என்றால் இதோ நானே கொடுத்துவிடுகின்றேன்.

36 2 + 37 2 + 38 2 + 39 2 + 40 2 = 41 2 + 42 2 + 43 2 + 44 2

இடது, வலது பக்கக் கூட்டுத் தொகைகள் சமமாக இருக்கின்றனவா? அடுத்த வரிசை காண முடிகிறதா? இல்லையென்றால் வரிசைகளின் முதல் உறுப்புகளான 3, 10 , 21 , 36 ஆகியவற்றையோ அல்லது இடப்புறத்தில் கடைசி உறுப்புகளான 4, 12, 24, 40 ஆகியவற்றையோ உற்றுப் பார்த்து அவற்றிடையே உள்ள உறவைக் காணுங்கள். அடுத்த வரி எழுத முடியும். 10-ம் வகுப்பு மாணவர் எந்த வரிசையையும் எழுத முடியும்.

சில சிறப்புகள்

சில எண்களில் மறைந்துள்ள சிறப்புகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. பார்த்து ரசியுங்கள். நீங்கள் இது போன்று ஏதேனும் காண முற்பட்டுள்ளீர்களா, இல்லையென்றால் கொஞ்சம் நேரம் ஒதுக்குங்கள்.

2025 = 45 2 ; 45 = 20+25

3025 = 55 2 ; 55 = 30+25

1233 = 12 2 + 33 2

8833 = 88 2 + 33 2

153 = 1 3 + 5 3 + 3 3

370 = 3 3 + 7 3 + 0 3

371 = 3 3 + 7 3 + 1 3

407 = 4 3 + 0 3 + 7 3

333667001 = 333 3 + 667 3 + 001 3

இத்தகைய விந்தை எண்களைக் கண்ட காப்ரேகர் உள்ளிட்ட கணித ஆர்வலர்கள் கணினி, கால்குலேட்டர் காலத்திற்கு முன்னர் பென்சிலும், காகிதமும் வைத்துக் கொண்டு பல மணி நேரம் செலவழித்துக் கண்டுபிடித்தார்கள் என்றால் அவர்களது ஆர்வத்தை என்னவென்பது? ஆக, கணிதம் எனும் அழகை ஆராதியுங்கள். கணிதம் இனிக்கும். ஆனால் தெவிட்டாது.