காப்ரேகர்

*'காப்ரேகர்'            ( KAPREKAR ) என்னும் பெயரைக் கேள்விப் பட்டிருக்கிறீர்களா ?. இவர் ஐரோப்பிய நாடுகளைச் சேர்ந்தவரோ, வேறு தேசத்தைச் சேர்ந்தவரோ கிடையாது !!!. இவர் ஒரு இந்தியர் !!!. மும்பாயில் ஒரு கிராமத்தில் பிறந்தவர் !!!. 'ராமச்சந்திர காப்ரேகர்' என்பது இவரின் முழுமையான பெயர் !!!. இவர் ஒரு கணித மேதை !!!. மேற்குலகம் வியப்புடன் பார்க்கும் ஒரு ஆச்சரியமான கணிதவியலாளர் !!!. டிஜிட்டல் இந்தியா என்றதும் பரவசப் படும் இளைஞர்களில் பலருக்கு, மேற்குலகமே வியந்து பாராட்டிக் கொண்டிருக்கும் இந்திய அறிவியலாளர்கள் பற்றி அதிகம் தெரிந்திருப்பதில்லையென்பதே மறுக்க முடியாத உண்மை !!!. அந்த அறிவியலாளர்களுக்கு அரசியலில் எந்தவொரு ஆளுமையும் இல்லாமல், அறிவியலில் மட்டும் ஆளுமை இருந்ததால், தன் சொந்த நாட்டில், சொந்த இடத்தில் மறக்கப் பட்டவர்களாகி விடுகின்றனர் !!!.*

*காப்ரேகர் கண்டுபிடித்த ‘காப்ரேகர் எண்கள்’ ( KAPREKAR NUMBERS ) என்பது கணிதத்தில் பிரபலமானது. உதாரணமாக, 703 என்பது ஒரு காப்ரேகர் எண்ணாகும் !!!. இதன் விசேசத் தன்மை என்னவென்றால், இந்த எண்ணின் வர்க்கம், அதாவது இந்த எண்ணை இதே எண்ணால் பெருக்கிவரும் பெரிய எண்ணை, இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரித்து, அவற்றை ஒன்றுடன் ஒன்று கூட்டினால், ஆரம்ப எண் வரும் !!!.  சரி இதைப் பாருங்கள் !!!.*

*703 X 703 = 494209  அல்லவா ?.    இதில் வரும் 494209 என்பதை எடுத்து, அதை 494 மற்றும் 209 ஆகப் பிரியுங்கள் !!!.* *இப்போது, இவையிரண்டையும் கூட்டுங்கள் !!!.*

*494+209=703*

*மீண்டும் ஆரம்ப எண்ணான 703 மீண்டும் வருகிறதல்லவா ?. எனவே 703 ஒரு காப்ரேகர் எண்ணாகும் !!!.*

*இப்படி 9, 45, 55, 99, 297….. என்பவை வரிசையாக காப்ரேகர் எண்களாகும் !!!. நீங்களே இவற்றின் வர்க்கத்தை எடுத்துச் செய்து பாருங்கள் !!!.*

*ஆனால், நான் இங்கு சொல்ல வந்தது காப்ரேகர் எண்களைப் பற்றியல்ல !!!. காப்ரேகரின் புகழைச் சொல்வது, ‘காப்ரேகர் எண்கள்’ மட்டுமல்ல, ‘காப்ரேகர் மாறிலி’ ( KAPREKAR’S CONSTANT ) என்பதும் தான் !!!. 'காப்ரேகர் மாறிலி' என்பது மிகவும் ஆச்சரியமான ஒரு எண் !!!. இந்த எண்ணை அடிப்படையாக வைத்து, எழுத்தாளர் ‘சுதாகர் கஸ்தூரி’ (SUDHAKAR KASTURI), '6174' என்று ஒரு அருமையான நாவலையும் எழுதியிருக்கிறார் !!!.*

*அந்த எண் 6174* 

*'6174' ஒரு அதிசய எண் !!!.* *இந்த அதிசய எண்ணைக் கண்டு பிடித்தவர் காப்ரேகர் !!!. 'சரி இந்த எண்ணில் அப்படி என்ன அதிசயம் இருக்கிறது ?' என்றறிய ஆவலாக இருக்கிறதா ?*

*அதைப் பார்க்கலாம் வாருங்கள்…….*

*காப்ரேகர் சொன்னது இதுதான், "6174 என்னும் எண்ணில் உள்ள இலக்கங்களை முதலில் இறங்குவரிசையாகவும், ஏறுவரிசையாகவும் வரும் எண்களாக மாற்றி எழுதிக் கொள்ளுங்கள் !!!. பின்னர் இறங்குவரிசை எண்ணிலிருந்து ஏறுவரிசை எண்ணைக் கழியுங்கள் !!!. அப்போது மீண்டும் அதே 6174 என்னும் எண் வரும்" !!!.*

*அது என்ன இறங்குவரிசை எண், ஏறுவரிசை எண் ? பெரிய இலக்கத்திலிருந்து சின்ன இலக்கம் வரை வரிசையாக எழுதுவது இறங்கு வரிசை எண் !!!. சின்ன இலக்கத்திலிருந்து பெரிய இலக்கம் வரை வரிசையாக எழுதுவது ஏறுவரிசை எண் !!!. அவ்வளவு தான் !!!. இதன்படி, 6174 இன் இறங்குவரிசை எண் 7641, அதன் ஏறுவரிசை எண் 1467 !!!.*

*காப்ரேகர் சொன்னது போல, இறங்குவரிசை எண்ணிலிருந்து, ஏறுவரிசை எண்ணைக் கழிப்போம் !!!.*

*7641 - 1467 = 6174.*

*அதாவது 6174 என்னும் எண்ணின் இ.வ. எண்ணிலிருந்து, ஏ.வ.எண்ணைக் கழித்தால் அதே 6174 மீண்டும் வரும் !!!.*

*இத்துடன் முடிந்து விடவில்லை '6174' தரும் ஆச்சரியங்கள் !!!.*

*நான்கு இலக்கங்களைக்கொண்ட எந்த இலக்கத்தையும் நீங்கள் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் !!!. சரி, உதாரணமாக 8539 என்னும் எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம் !!!. அதை இ.வ.எ., ஏ.வ.எ. என மாற்றிக் கழித்துக் கொள்வோம் !!!.*

*9853 - 3589 = 6264* 

*இப்போது 6264 என்பதை மீண்டும் இ.வ.எ., ஏ.வ.எ. ஆக மாற்றிக் கழித்துக் கொள்வோம் !!!.*

*6642 - 2466 = 4176*  

*இந்த எண்ணுக்கும் அதே போலச் செய்தால்,*

*7641 - 1467 = 6174*  

*இறுதியாக நாம் பெறுவது 6174 என்னும் எண்ணாகவே இருக்கும் !!!. இப்போது 6174 ஐ நாம் வரிசைப் படுத்தினால், அது 6174 ஆகவே இருக்கும் !!!. இந்த எண் மீண்டும் மீண்டும் நம்மை அதன் சுழலில் இழுத்துக் கொண்டிருப்பதால், இதைக் 'கருந்துளை எண்' (BLACK HOLE) என்றும் சொல்வார்கள் !!!.*

*நீங்கள் 9999 க்கு கீழே உள்ள நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்ட எந்த எண்ணை எடுத்தும் (1111, 2222, 3333.......9999 எண்களும், சில விதிவிலக்கு எண்களும்  இவற்றில் அடங்காது) அதனை இ. வ. எண், ஏ. வ. எண் ஆகப் படிப்படியாக மாற்றினால் உங்களுக்கு இறுதியில் கிடைப்பது 6174 என்னும் எண்ணாகவே இருக்கும் !!!.*

*அதிகப்படியாக ஏழாவது படியில் 6174 எண் உங்களுக்கு விடையாகக் கிடைக்கும் !!!. முடிந்தவரை பல எண்களை இப்படி முயற்சி செய்து பாருங்கள் !!!. எப்போதும் 6174 என்னும் எண் வந்து உங்களை அணைத்துக் கொள்ளும் !!!. அதனால் தான் '6174

நிகழ்காலத்தில் வாழ்வது எப்படி?

நிகழ்காலத்தில் வாழ்வது எப்படி?

------------------------------------

இத்தருணத்தில் சிறப்பாக வாழ்வது எப்படி என்பதைப்பற்றிச் சிந்திக்கும்போது ஒன்று தெளிவாகப் புரிகிறது.    கடந்துபோனவற்றை மீண்டும் மீண்டும் நினைத்துப் பார்க்காமல் இருத்தல் நல்லது. அதேபோல் எதிர்காலம் பற்றிய கற்பனைகளில் கவனம் செலுத்தாதிருப்பது.

மிக எளிமையாகத் தோன்றும் இது உண்மையில் எளிதானதாக இல்லை. 

எதிர்காலம் பற்றிய சிந்தனைகளும், அவற்றால் கவலைகளும்  அதிகரிக்கும்போது நமக்குள்  பிரச்சனைகள் உருவாகின்றன.

 அதற்காக நமது  எதிர்காலம் பற்றி நாம் திட்டமிடக்கூடாது என்பதல்ல. நமது திட்டமிடல் ஆக்கப்பூர்வமானதாக அமையவேண்டும்.

எதிர்காலம் பற்றி, எதிர்பார்ப்புக்கள் நிறைந்த கவலைகள்   அதிகரிப்பது, நமது திட்டமிடலுக்கு உதவாது.

பொதுவாக நாம் நமது  கடந்தகாலத்தை குற்ற   உணர்வுடனேயே அணுகுகிறோம்.  அன்று நான் இன்னும் சிறப்பாகச்  செயல்பட்டிருக்கலாம் என்று எண்ணுவதே நமது வழக்கமாக இருக்கிறது. இந்த எண்ணப்போக்கினால் நமது குற்றமனப்பாங்கே உறுதிப்படுகிறது. இதை விட்டுவிட்டு  நாம் கடந்த கால நினைவுகளில் இருந்து பாடங்கள் கற்றுக்கொள்ளப் பழக வேண்டும். அதுவே சிறப்பானது. 

திட்டமிடல் என்பதை  உணர்ந்து செயல்படுத்த வேண்டும்.

கணிதமேதை சௌலா பிறந்த தினம் - அக்டோபர் 22:

கணிதமேதை சௌலா பிறந்த தினம் - அக்டோபர் 22:

சர்வதமன் டி. எஸ். சௌலா (Sarvadaman D. S. Chowla, கணிதத்தில் எண் கோட்பாட்டில் இருபதாவது நூற்றாண்டில் நூற்றுக்கணக்கான ஆய்வுக்கட்டுரைகள் எழுதி சாதனை புரிந்து உலகப்புகழ் பெற்ற ஒரு இந்திய-அமெரிக்க கணிதவியலாளர்.

சிறுவயதிலேயே சர்வதமன் கணிதத்தில் சிறந்து விளங்கினார். கல்லூரியில் இளநிலை வகுப்பில் படிக்கும்போதெ இந்தியக் கணிதக்கழக ஆய்வுப் பத்திரிகையின் (Journal of the Indian Mathematical Society) 'கணக்குகள்' பிரிவுக்கு பல கணக்குகள் வழங்கி வந்தார். 1928இல் லாஹூர் அரசுக்கல்லூரியில் முதுகலைப்பட்டம் பெற்றார்.

தந்தை அவரை மேல்படிப்பிற்கு 1929 இல் கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தில் சேர்த்துவிட்டு அதே ஆண்டு பாரிசில் காலமானார். தந்தை இறந்தது சர்வதமனுக்கு ஒரு பேரிடியாக இருப்பினும் அதை சமாளித்துக்கொண்டு தன் ஆராய்ச்சி வேலையில் மூழ்கினார். பேராசிரியர் ஜே. ஈ. லிட்டில்வுட்டின் இயக்கத்தின் கீழ் Analytic Theory of Numbers என்ற பிரிவில் Thesis ஒன்றை தன் கைப்பட எழுதி 1931 இல் முனைவர் பட்டம் பெற்றார்.

சர்வதமன் சௌலாவின் ஆய்வுகள் (ஏறத்தாழ 350 ஆய்வுக் கட்டுரைகள்) 1417 பக்கங்கள் கொண்ட புத்தகமாகப் பிரசுரிக்கப்பட்டிருக்கின்றன.அவர் இயற்றிய ஓர் அரிய நூல்: The Riemann Hypothesis and Hilberts Tenth Problem. Routledge, New York 1965.

அல்ஜிப்ரா

அல்ஜிப்ராவில்

3x X 2y = 6xy அதாவது 3x அப்படிங்கிறத 2y ஆல பெருக்கினா அதோட Coefficent லால பெருக்கிறோம்.

பெருக்கி 6xy ன்னு எழுதுறோம்.

Coefficent அப்படின்னா இப்ப 

3x க்கு Coefficent வந்து 3

2y க்கு Coefficent வந்து 2

ஆனா 3x ஐயும் 2y யும் கூட்டுனா அப்படி Coefficent 3 ஐயும் 2 ஐயும் கூட்ட முடியாது. 

3x + 2y = 3x + 2y 

பொதுவாக இதுக்கு மாம்பழத்தையும் ஆப்பிளையும் கூட்ட முடியுமா என்பார்கள்.

அப்படியென்றால் பெருக்க மட்டும் முடிமாக்கும் என்றும் கேட்கலாம். மாம்பழம் ஆப்பிள் வைத்தே பெருக்கலுக்கு ஒரு விளக்கம் இருக்கும் என்றாலும் இந்த படத்தில் உள்ள விளத்தையும் சொல்லலாம் என்று நினைக்கிறேன். 

படத்தில் பாருங்கள். 3x + 2y = ...x + ..y என்று கொடுத்திருக்கிறேன். அப்படி எழுதினாலே மாணவர்களுக்கு நல்ல புரிதலைக் கொடுக்கும்.

மூன்று பெருக்கல் x க்கு எதாவது ஒரு எண் வரலாம். இரண்டு பெருக்கல் y க்கு எதாவது ஒரு எண் வரலாம்.

இந்த இடத்தில் எப்படி Coefficent ஐயும் கூட்ட முடியும் என்று மாணவரே புரிந்து கொள்வார்கள்.

அடுத்து 3x X 2y = 6xy என்பதற்கு ஒரு படம் பாருங்கள்.

3 x 2 என்பதை எப்படி புள்ளியால் குறிப்போம்.

மேலே மூன்றுபுள்ளிகள் அது மூன்றுக்கு வரும். அம்முன்று புள்ளிகள் இரண்டு அடுக்காய் வரும். 

அது 2 

3 x 2 = புள்ளிகளை எண்ணினால் ஒன்று இரண்டு மூன்று நான்கு ஐந்து ஆறு. இங்கே எண்ணினால் என்பதைத்தான் புள்ளிகளுக்கு இடையே கூட்டல் (+) குறியாய் கொடுத்திருக்கிறேன். 

அப்படியானால் 3 x 2 = 6

அதே மாதிரிதான் 3x X 2y = 6xy என்பதன் 6xy யும்

அங்கே பாருங்கள். மூன்று புள்ளிகளை இரண்டு அடுக்காய் வைத்திருக்கிறேன்.

ஒவ்வொரு புள்ளியின் மேலும் x X y என்று எழுதியிருக்கிறேன். 

ஒரு உதாரணம் கொடுப்போம்.

x = 2 என்றும் y = 5 என்றும் வைத்துக் கொள்வோம். 

3x X 2y = (3 x 2) x (2x 5) = 6 x 10 = 60 

இதே அறுபது புள்ளிகள் வழியே எப்படி வருகிறது என்று பாருங்கள். 

நாம என்ன செய்திருக்கோம் ஆறுபுள்ளி வெச்சி அதுக்கு மேலே x X y போட்டு, அந்த புள்ளிகளுக்கு இடையே கூட்டல் வைத்திருக்கிறோம்.

ஒரு புள்ளிக்கு மேல இருக்கிற x X y மதிப்பு என்ன 

2 x 5 =10

அப்போ ஆறு புள்ளிக்கு மேலவும் பத்து பத்து பத்து பத்து பத்து பத்து ன்னு ஆறு பத்து வருது. 

இப்ப கூட்டல் குறிக்காக கூட்டுவோம்.

10+10+10+10+10+10 = 60 

இதத்தான் 6xy அப்படின்னு சொல்றோம். 

அப்போ 3x X 2y = 6xy சரிதான்.

அல்ஜிப்ராவை இப்படி படமாக படிக்கும் போது மாணவர்கள் மனதில் என்றுமே அகலாத ஒரு விஷயமாய் படிந்து போக வாய்ப்பு அதிகம்.

அல்ஜிப்ரா வின் தந்தை - அல் குவாரிஸ்மி

அல்ஜிப்ரா வின் தந்தை என அறியப்பட்டவர்

பாரசீக அறிஞர் முஹம்மது இப்னு மூஸா அல் குவாரிஸ்மி.

****************************

இவர்தான் அனைத்து கணித அடிப்படைகளின் மந்திரமாக கருதப்படும் அல்ஜிப்ராவை,

 (இயற்கணிதவியல்) உருவாக்கியவர்.

எட்டாம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் வாழ்ந்த பல்துறை வித்தகர். 

கணிதவியல், இயற்கணிதவியல், வடிவியல், வானியல், கோணவியல், வரைகலை பொன்ற துறைகளில் இவரின் உழைப்பு, அர்ப்பணிப்பு, கண்டுபிடிப்புகள் மிக முக்கியமானவை.

12 ஆம் நூற்றாண்டில் இவரின் கணிதச் சமன்பாடுகள் அரபி மொழியிலிருந்து லத்தீன் மொழிக்கு மொழியாக்கம் பெற்று வெளியிடப்பட்டது. இந்திய எண்கள் பற்றி விளக்கிய இந்த நூல் பதின்ம இட எண்முறையை (decimal positional number system) மேற்குலக நாடுகளுக்கு அறிமுகப்படுத்தியது.

நவீன காலப் புதுமை நிறைந்த கட்டிட கலைக்குத் தேவையான வடிவங்கள் (geometric shapes), அவற்றிற்குத் தேவையான தகுந்த முப்பரிமாணச் சமன்பாடுகளை கோணவியலாக (Trigonometry) வடமைத்துத் தந்தவர். இந்த கோணவியல்தான் தற்போதைய விண்ணியலின் தாரக மந்திரம். கிரேக்கக் கணிதவியலாளர்கள் தாலமி, ஹிப்பாகிரஸ் போன்றோர் கோணவியலை வடிவமைத்திருந்தாலும் அவை முழுமையாக்கப்படவில்லை. அதற்கான முழுமையான சமன்பாடுகள் எழுதப்

பட்டிருக்கவில்லை. ஆரம்பகட்ட கோணவியல் கட்டிடக்கலையை வடிவமைக்க மட்டுமே பயன்படுவதாக இருந்தது.

அல்குவாரிஸ்மி உருவாக்கிய அல்ஜிப்ராவும், கோணவியலும்தான் விண்ணியல் ஆராய்ச்சியை எட்டிப்பிடிக்க வழிவகை செய்தது. கோணவியலின் முதல்விதியே ராக்கெட்டின் கூம்பு தயாரிப்பதற்குத் தான் என்றால் நமக்கு ஆச்சரியம் தோன்றும். Fraction, decimal, algorithm and algorism

ஆகிய முதற்படி மற்றும் இருபடிநிலை கணித வகைப்பாடுகளை உருவாக்கியதன் மூலம் உலக வரைபடங்கள் தயாரிக்க இவரது கணித ஞானம் மிகவும் பயன்பட்டது. வழிமுறைகள் (அல்கோரிதம்) இல்லையெனில் இன்றைய கணினி இல்லை என்பது எத்தனை உண்மை.

இவரது படைப்பாளுமைக் காலம்

கிபி. 813 ல் தொடங்கி 20 ஆண்டுகள் நீடித்தன. 

இஸ்லாமியர்களின் பாரசீக வெற்றியின் பின்னர், பக்தாத் நகரம் அறிவியல் ஆய்வு மற்றும் வர்த்தகத்தின் மத்திய நிலையமாக மாறியது. இதனால், சீனா மற்றும் இந்தியா போன்ற தூர இடங்களிலிருந்தும் பல வியாபாரிகள், விஞ்ஞானிகள் அந்நகருக்கு பிரயாணம் செய்தனர். அல்-குவாரிஸ்மியும் இவ்வாறே செய்தார். 

கலீபா மஹ்மூனால் ( Al Mamun ) பக்தாதில் உருவாக்கப்பட்ட அறிவு வீ்டு ( Bayat al-Hikma, House of Wisdom ) என்ற ஆய்வகத்தில் ஒரு அறிஞராக அல்-குவாரிஸ்மி பணியாற்றினார். அங்கு அவர் கிரேக்க மற்றும் சமஸ்கிருத மொழிபெயர்ப்பு விஞ்ஞானச் சுவடிகள் உட்பட, கணிதம் மற்றும் விஞ்ஞானத்தை கற்றார்.

இவர் கி.பி. 780 ஆம் ஆண்டில் தற்போதய உஸ்பெக்கிஸ்தானில் உள்ள ஹிவா ( Khiva )

என அழைக்கப்படுவதும், அக்காலத்தில் குவாரிஸிம் (Khwārizm) என்று அழைக்கப்பட்ட நகரில் பிறந்தார்.

19 ஆம் நூற்றாண்டில் மத்திய ஆசியாவின் மிகப்பெரிய அடிமை வியாபாரம் நடைபெற்ற கோட்டை நகரம் ஹிவா. இந்த நகரம் அக்காலத்தில் பாரசீகப் பேரரசின் ஒரு பகுதியாக இருந்தது. இந்த ஊர்ப்பெயர்தான் அவர் பெயரோடு சேர்ந்து குவாரிஸ்மியாகியது. அவரது முழுப்பெயர்

அபு அப்துல்லா முஹம்மது பின் மூசா அல் குவாரஸ்மி (Abu Abdallah Muhammad Ibn Musa al Khwarizmi)

எட்டாம் நூற்றாண்டின் கோட்டை நகரமாகத் திகழ்ந்தது ஹிவா. இந்த நகரக் கோட்டைக்கு வெளியே அல்குவாரிஸ்மி சிலை நிறுவப்பட்டுள்ளது

என்பது மிக ஆச்சரியமான, வியக்கவைக்கும் செய்தி.

தெஹ்ரான் அமீர்கபீர் பல்கலைக்கழகத்திலும்

( Amirkabir University, Tehran ) இவரது முழு உருவச்சிலை  வைக்கப்பட்டுள்ளது.

அல் குவாரிஸ்மியின் உத்தேசமான 1200 ஆம் பிறந்தநாளைக் கொண்டாடும் வகையில்

6, செப்டம்பர், 1983 ஆண்டு இவர் உருவம் தரித்த ஸடாம்ப் ரஷ்யாவில் வெளியிடப்பட்டது.

"On the Calculation with Hindu Numerals" :

இந்நூல் இந்தியக் கணித இலக்கமுறையுடன் கணித்தலில் 825 பற்றி எழுதப்பட்டது.  இது செழுமைப்படுத்தப் பட்ட இந்திய -அரபு எண்ணுருக்களை மத்திய கிழக்கு மற்றும் ஐரோப்பா முழுவதும் பரப்புவதற்கு முக்கிய காரணியாக அமைந்தது. படிமுறைத் தீர்வு (Algorithm),

பதின்ம இட எண்முறை (Algorism) ஆகியவை இவரின் இலத்தீன் மொழிப்பெயரான அல்கோரித்மி (Algoritmi) என்னும் பதத்திலிருந்து உருவானதாகும்.

"முழுமை மற்றும் சமநிலை கணி்த்தல் சுருக்கம்",

("The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing") என்பது ஒரு கணித புத்தகமாகும். இது ஏறத்தாழ கி்.பி. 830 இல் எழுதப்பட்ட கணிப்புகளுக்கு புகழ்பெற்ற நூல்.

இந்நூல் வியாபாரம், அளவியல் மற்றும் சட்டஉரிமை பற்றிய விரிவான பிரச்சினைகளுக்கு பல உதாரணங்கள் மற்றும் பிரயோகங்கள் மூலம் விளக்கங்களை வழங்குகின்றது.

இந்த நூல் "லிபர் அல்ஜிப்ரே" ( "Liber algebrae et almucabala" by Robert Chester ) எனும் பெயரில் மர்மக் கவிஞர் செஸ்டரால் இலத்தீன் மொழியிலும் ஆங்கிலத்திலும்

மொழியாக்கங்கள் கண்டன.

இதன் அரிய அரபு மொழிப் பிரதி ஆக்ஸ்ஸஃபெட் பல்கலைக்கழக்கத்திலும், இலத்தீன் மொழிப் பிரதி

கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்திலும் இன்னும்

பாதுகாக்கப்பட்டு வருகிறது.

ஏழாம் நூற்றாண்டைச் சார்ந்த இந்தியாவின் கணித மேதை பிரமகுப்தா ( Brahmagupta of Ujjain ( ம.பி. மாநிலம் ), மூன்றாம் நூற்றாண்டைச் சார்ந்த எகிப்தின் கணிதவியலாளர் டயஃபேந்தஸ் 

(Mathematician Diophantus of Alexandria, Egypt ) ஆகியோரது படைகப்புகளுடன் அல்குவாரிஸ்மியின் படைப்புகளை ஒப்பிட்டு வேறுபடுத்துகிறார் சுவிஸ் அமெரிக்கன் கணித வரலாற்றாளர் ஃப்லோரியன் கஜோரி, Florian Cajori. இந்த இருவரது கணிதச் சமன்பாடுகளிலும் மறுசீரமைப்பு மற்றும் குறைத்தல் விதிகள் ( Restoration மற்றும் Reduction ) இல்லை என்கிறார்.

முதன்முதலில் நைல் நதியின் வரைபடத்தை துல்லியமாக வடிவமைத்தார். ஆனால் 

முன்பே பாரசீக புவியியலாளர் ஹஜ்ஜாஜ்

பின் யூசுப் (Al-Hajjaj ibn Yusuf) "தியாலம்" என்கிற பெயரில் நைல் நதியின் வரைபடத்தை உருவாக்கினார். அது தெளிவற்றதாக இருந்தது.

இவரது நைல் நதியின் வரைபடம் பொருளாதாரக் காரணம் மட்டுமின்றி அரசியல், வரலாறு, பண்பாட்டுத் தளங்களில் மிக முக்கியமான வரைபடமாகக் கருதப்பட்டது. உலகத்தின் இரண்டாயிரத்திற்கும் மேற்பட்ட நகரங்களைத் தொட்டுப் பேசுகிறது இவரின்

நைல்நதியின் வரைபடம்.

இவர் முற்கால உயர்வுமானி எனப்படும் கோள்காண் வட்டு (astrolabe) மற்றும் சூரிய மணி காட்டி ( sundial ) போன்ற பொறிமுறை சாதனங்களைப் பற்றியும் ஆய்வு செய்து ஆய்வுக் கட்டுரை எழுதினார்.

கோள்காண் வட்டு என்பது ஒரு விண்வெளி ஆராய்ச்சிக் கருவி. ஆஸ்ட்ரோலேப் என்று அறியப்பட்டது. மிகப் பண்டைய காலத்தில் வானில் விண்மீன்கள் மற்றும் இதர கோள்களின் நீள அகலங்களைக் கணிக்கவும், சூரியன் உட்பட அவற்றின் நிலைகொண்ட இடத்தை யூகித்தறியவும் பயன்பட்ட ஒரு கருவி. வடிவமைப்புச் சற்று மாற்றப்பட்டு கடற் பயணங்களின்போதும் உபயோகப்படுத்தப்பட்டது.

புவியின் சுற்றளவை கணிப்தற்கான ஒரு திட்டத்துக்கு உதவிசெய்ததுடன், கலீபா மஹ்மூனின் உலகவரைபடத்தை உருவாக்குவதற்கு 70 புவியியலாளர்களின் மேற்பார்வையுடன் ஈடுபட்டு,

டாலமி உருவாக்கிய உலக வரைபடத்திற்குப் பதிலாக புதிய அளவீடுகளுடனான புதிய உலக வரைபடத்தை உருவாக்கினார். டாலமியின் புவியியல் எனும் நூலைச் ( "The Geography" of Ptolemy ) செழுமைப்படுத்தி  சூரத்துல் அர்த்

(அரபியில்  "kitab surah al ard" - "The Image of Earth" ) எனும் புதிய  நூலை வடிவமைத்ததன் வாயிலாக அரபு உலகில் புவியிலுக்கும் புவிசார் கலைகளுக்கும் வித்திட்டார்.

தற்போது "சூரத்துல் அர்த்" முற்றிலுமாக சேதமடைந்த நிலையில் ஒரேயொரு புதுப்பிக்கப்பட்ட பிரதி மட்டும் பிரான்சின் ஸ்ட்ராஸ்பர்க் பல்கலைக் கழகத்தின் ( Strasbourg University ) நூலகத்தில் இன்னும் பாதுகாக்கப்பட்டு வருகிறது.

1551ல் மெகல்லன், கடல்வழியாக பூமியை சுற்றி வந்ததன் மூலம் புவி கோளவடிவமானது என கூறுவதற்கு 700 வருடத்திற்கு முன்பாகவே புவி கோள வடிவமுடையது அதன் ஓரங்கள் வளைந்து செல்லக்கூடியது என தமது "ஸிஜ் அல் சிந்த்ஹிந்த்"

( Zīj al-Sindhind  "Great astronomical tables of the Sindhind - The Sindhind is an Indian astronomical method ) எனும் நூலில் உலகிற்கு அறிவித்த மேதை அறிவியல் அல்குவாரிஸ்மி.

 ஏராளமான புத்தகங்களை இயற்றிய இவருடைய புகழ் ஐரோப்பாவில் மங்காத தனியிடம் ஒன்றை தக்கவைத்துள்ளது.

ஆரியபட்டா (Aryabhata (476–550 CE) கண்டறிந்த

"0" பூஜ்ஜியத்தை ஸைஃப்ர் என்கிற பெயரில் உலகப் பயன்பாட்டிற்கு கொண்டவந்தார். அதுவே பிறகு ஸீரோ ஆனது.

Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī :

(Persian: Muḥammad

Khwārizmī محمد بن موسى خوارزمی‎ :

 c. 780 – c. 850),

பென்ஸி.

மனதை அடக்கும் உபாயம்!

மனதை அடக்கும் உபாயம்!

குரங்குகள் இயற்கையாகவே சஞ்சல மனம் படைத்தவை. அத்தகைய குரங்கு ஒன்று இருந்தது. அதற்கு நிறைய கள்ளைக் குடிக்கக் கொடுத்தான் ஒருவன். அதனால் அதன் பரபரப்பு அதிகமாகியது. அது போதாதென்று தேள் ஒன்று அதனைக் கொட்டியது. தேள் கொட்டினால் மனிதனே நாள் முழுதும் குதிப்பான். குரங்கின் நிலையைச் சொல்லவா வேண்டும்? அதன் போதாத காலத்தைப் பூரணமாக்க ஒரு பேயும் அதனைப் பிடித்துக் கொண்டது. இப்போது அந்தக் குரங்கின் அடக்க முடியாத சஞ்சலத்தையும், படபடப்பையும் விளக்க வார்த்தைகள் எங்கே உள்ளன?

இந்த உதாரணத்தை கூறி, மனித மனத்தின் பரிதாப நிலைப்பாட்டை விளக்குகிறார் சுவாமி விவேகானந்தர்: 

மனித மனம் அந்தக் குரங்கின் நிலைக்கு நிகரானது. இயற்கையாகவே அது சஞ்சல இயல்பு படைத்தது. ஆசை என்னும் கள் குடித்ததனால் அதன் சஞ்சலமும் வெறியும் அதிகரிக்கின்றன. ஆசை குடிகொண்ட பிறகோ பிறர் வெற்றியைக் கொண்டு பொறாமை கொள்கிற குணமாகிய தேள் கொட்டியது. முடிவாக கர்வம் என்ற பேயும் மனத்தினுள் புகுந்து எல்லா பெருமையும் தனக்கே என்று நினைக்கச் செய்கிறது.

 இத்தகைய மனத்தைக் கட்டுப்படுத்துவது எவ்வளவு கடினம்!...ஆனால் இது முடியக்கூடியதா? ஆம், கண்டிப்பாக முடியும். எனவே முதல் பாடமாக வருவது இது: சிறிது நேரம் அமர்ந்து மனத்தை அதன் போக்கிலேயே அலையவிடுங்கள். அது எப்போதும் குமுறிக் கிளம்பியவண்ணமே உள்ளது. 

குரங்கு குதித்துத் தாவுவதைப் போன்றது அது. எவ்வளவு வேண்டுமானாலும் அது குதிக்கட்டும். நீங்கள் பொறுமையாக அதைக் கவனிக்க மட்டும் செய்யுங்கள். அறிவே வலிமை என்பது பழமொழி. அது உண்மை. மனம் என்ன செய்கிறது என்பதை அறியாமல் அதைக் கட்டுப்படுத்த முடியாது. கடிவாளத்தை விட்டுப்பிடியுங்கள். தீய எண்ணங்கள் பல அதில் எழலாம். அத்தகைய எண்ணங்கள் உங்கள் மனத்தில் இருந்ததைப் பற்றி நீங்களே திகைப்படைவீர்கள். நாள் செல்லச் செல்ல மனத்தின் வெறித்தனமான போக்கு குறைவதையும், அது மெள்ள மெள்ள அமைதி பெறுவதையும் காண்பீர்கள்.

 ஆரம்பத்தில் சில மாதங்கள் மனத்தில் பல எண்ணங்கள் எழுவதைக் காண்பீர்கள். பிறகு அவை குறையத் தொடங்கும். சில மாதங்களுக்குப் பிறகு தொடர்ந்து குறைந்து கொண்டே போகும். கடைசியாக மனது பூரணக் கட்டுப்பாட்டில் வந்துவிடும். ஆனால் தினமும் பொறுமையுடன் பயிற்சி செய்யவேண்டும்...

இது ஒரு பெரிய வேலைதான், ஒருநாளில் செய்துமுடிக்கின்ற வேலையல்ல. பொறுமையாகத் தொடர்ந்து வருடக்கணக்காகப் பயிற்சி செய்தால் நாம் வெற்றி பெறுவோம்.

அறிவியல் பலகை

• 20/10/2019—

• அறிவியல் பலகை – தமிழில் –

• அறிவியல் கே – பதில்கள் 6,7,8 ஆம் வகுப்பு பிள்ளைகளுக்கானது – ஆசிரியர்கள் மூலம்.

ஒரு பொருளை வெப்பப்படுத்தும்போது அவை அடையும் உருவ அளவு மாற்றங்கள் யாவை ?

ஓரு பொருளை வெப்பப்படுத்தும்போது அது நீளத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் நீள் விரிவு எனப்படும்.

பரப்பளவில் ஏற்படும் மாற்றம் பரப்பு விரிவு எனப்படும். பருமனளவில் ஏற்படும் மாற்றம் பரும விரிவு

எனப்படும்.

• பறவைகளில் எது இல்லை ? – NOT IN BIRDS.

விடை – சிறுநீர்பை – URINARY BLADDER.

• மனித, விலங்கு குடலில் வாழும் PRESENT IN THE HUMAN OR ANIMAL INTENTINE பாக்டீரியா

விடை- எஸ்செரிசியா கோலை – ESCHERICHIA COLI.

• ஆண் பெண் இனப் பெருக்க உறுப்புகள் ஒரே உயிரியின் உடலில் காணப்படுவதற்கு –

எடுத்துக்காட்டு – AN EXAMPLE FOR THE MALE AND FEMALE SEX ORGANS ARE FOUND IN THE SAME

ANIMAL. விடை – ஹைடிரா(HYDRA), நாடாப் புழு ( TAPE WORM ), மண்புழு (  EARTH WORM ).

• கழிவு நீர் அகற்றி சுத்தகரிப்பில் பங்கு பெறும் நுண்ணுயிர்கள் MICRO ORGANISM INVOLVED

IN SEWAGE WATER DISPOSAL -  விடை – லேக்டா பாசிலஸ் – LACTO BACILLUS.

• வளரும் குழந்தைகளின் உடலில் பிட்யூட்டரி சுரப்பிகள் அளவுக்கு அதிகமாக வேலை செய்தால் - ---- ஏற்படும் – OVER ACTIVITY OF PITUITARY GLAND IN GROWING CHILDREN CAUSES

விடை – அசுர வளர்ச்சி – GIGANTISM.

சர்வதமன் டி. எஸ். சௌலா (Sarvadaman D. S. Chowla)

கணிதமேதை சௌலா பிறந்த தினம் - அக்டோபர் 22:

சர்வதமன் டி. எஸ். சௌலா (Sarvadaman D. S. Chowla, கணிதத்தில் எண் கோட்பாட்டில் இருபதாவது நூற்றாண்டில் நூற்றுக்கணக்கான ஆய்வுக்கட்டுரைகள் எழுதி சாதனை புரிந்து உலகப்புகழ் பெற்ற ஒரு இந்திய-அமெரிக்க கணிதவியலாளர்.

சிறுவயதிலேயே சர்வதமன் கணிதத்தில் சிறந்து விளங்கினார். கல்லூரியில் இளநிலை வகுப்பில் படிக்கும்போதெ இந்தியக் கணிதக்கழக ஆய்வுப் பத்திரிகையின் (Journal of the Indian Mathematical Society) 'கணக்குகள்' பிரிவுக்கு பல கணக்குகள் வழங்கி வந்தார். 1928இல் லாஹூர் அரசுக்கல்லூரியில் முதுகலைப்பட்டம் பெற்றார்.

தந்தை அவரை மேல்படிப்பிற்கு 1929 இல் கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தில் சேர்த்துவிட்டு அதே ஆண்டு பாரிசில் காலமானார். தந்தை இறந்தது சர்வதமனுக்கு ஒரு பேரிடியாக இருப்பினும் அதை சமாளித்துக்கொண்டு தன் ஆராய்ச்சி வேலையில் மூழ்கினார். பேராசிரியர் ஜே. ஈ. லிட்டில்வுட்டின் இயக்கத்தின் கீழ் Analytic Theory of Numbers என்ற பிரிவில் Thesis ஒன்றை தன் கைப்பட எழுதி 1931 இல் முனைவர் பட்டம் பெற்றார்.

சர்வதமன் சௌலாவின் ஆய்வுகள் (ஏறத்தாழ 350 ஆய்வுக் கட்டுரைகள்) 1417 பக்கங்கள் கொண்ட புத்தகமாகப் பிரசுரிக்கப்பட்டிருக்கின்றன.அவர் இயற்றிய ஓர் அரிய நூல்: The Riemann Hypothesis and Hilberts Tenth Problem. Routledge, New York 1965.

வள்ளலாரின் அறிவுரைகள்!

வள்ளலார் கூறிய அற்புதமான வாழ்க்கை போதனை. 43 அறிவுரைகள்! இதற்கு மேல் எவரும் அறிவுரை கூற இயலாது.

1. வாழ்வென்பது உயிர் உள்ள வரை மட்டுமே!

2. தேவைக்கு செலவிடு.

3. அனுபவிக்க தகுந்தன அனுபவி.

4. இயன்ற வரை பிறருக்கு பொருளுதவி செய்.

5. மற்றும் ஜீவகாருண்யத்தை கடைபிடி.

6. இனி அநேக ஆண்டுகள் வாழப்போவதில்லை.

7. உயிர் போகும் போது, எதுவும் கொண்டு செல்ல போவதுமில்லை. ஆகவே, அதிகமான சிக்கனம் அவசியமில்லை.

8. மடிந்த பின் என்ன நடக்கும் என்று குழம்பாதே.

9. உயிர் பிரிய தான் வாழ்வு. ஒரு நாள் பிரியும். சுற்றம், நட்பு, செல்வம், எல்லாமே பிரிந்து விடும்.

10. உயிர் உள்ள வரை, ஆரோக்கியமாக இரு.

11. உடல் நலம் இழந்து பணம் சேர்க்காதே.

12. உன் குழந்தைகளை பேணு. அவர்களிடம் அன்பாய் இரு. 

13. அவ்வப்போது பரிசுகள் அளி. 

14. அவர்களிடம் அதிகம் எதிர்பாராதே. அடிமையாகவும் ஆகாதே.

15. பெற்றோர்களை மதிக்கும் குழந்தைகள் கூட, பாசமாய் இருந்தாலும், பணி காரணமாகவோ, சூழ்நிலை கட்டாயத்தாலோ, உன்னை கவனிக்க இயலாமல் தவிக்கலாம், புரிந்து கொள்!

16. அதைப்போல, பெற்றோரை மதிக்காத குழந்தைகள், உன் சொத்து பங்கீட்டுக்கு சண்டை போடலாம்.

17. உன் சொத்தை தான் அனுபவிக்க, நீ சீக்கிரம் சாக வேண்டுமென, வேண்டிக்கொள்ளலாம். பொறுத்துக்கொள்.

18. அவர்கள் உரிமையை மட்டும் அறிவர்; கடமை மற்றும் அன்பை அறியார்.

19. “அவரவர் வாழ்வு, அவரவர் விதிப்படி” என அறிந்து கொள்.

20. இருக்கும் போதே குழந்தைகளுக்கு கொடு.

21. ஆனால், நிலைமையை அறிந்து, அளவோடு கொடு. எல்லாவற்றையும் தந்து விட்டு, பின் கை ஏந்தாதே. 

22. “எல்லாமே நான் இறந்த பிறகு தான்” என, உயில் எழுதி வைத்திராதே. நீ எப்போது இறப்பாய் என எதிர் பார்த்து காத்திருப்பர்.

23. எனவே, கொடுப்பதை நினைப்பதை மட்டும் முதலில் கொடுத்து விடு; மேலும் தர வேண்டியதை, பிறகு கொடு.

24. மாற்ற முடியாததை, மாற்ற முனையாதே.

25. மற்றவர் குடும்ப நிலை கண்டு, பொறாமையால் வதங்காதே! 

26. அமைதியாக, மகிழ்ச்சியோடு இரு. 

27. பிறரிடம் உள்ள நற்குணங்களை கண்டு பாராட்டு.

28. நண்பர்களிடம் அளவளாவு.

29. நல்ல உணவு உண்டு, நடை பயிற்சி செய்து, உடல் நலம் பேணி, இறை பக்தி கொண்டு, குடும்பத்தினர், நண்பர்களோடு கலந்து உறவாடி, மன நிறைவோடு வாழ்.

30. இன்னும் இருபது, முப்பது, நாற்பது ஆண்டுகள், சுலபமாக ஓடி விடும்!

31. வாழ்வை கண்டு களி!

32. ரசனையோடு வாழ்!

33. வாழ்க்கை வாழ்வதற்கே!

34. நான்கு நபர்களை புறக்கணி!

🤗மடையன்

🤗சுயநலக்காரன்

🤗முட்டாள்

🤗ஓய்வாக இருப்பவன்

35. நான்கு நபர்களுடன் தோழமை கொள்ளாதே!

😏பொய்யன்

😏துரோகி

😏பொறாமைக்கைரன்

😏மமதை பிடித்தவன்

36. நான்கு நபர்களுடன் கடினமாக நடக்காதே!

😬அனாதை

😬ஏழை

😬முதியவர்

😬நோயாளி

37. நான்கு நபர்களுக்கு உனது கொடையை தடுக்காதே!

💑மனைவி

💑பிள்ளைகள்

💑குடும்பம்

💑 சேவகன்

38. நான்கு விசயங்களை ஆபரணமாக அணி!

🙋♂பொறுமை

🙋♂சாந்த குணம்

🙋♂அறிவு

🙋♂அன்பு

39. நான்கு நபர்களை வெறுக்காதே!

👳தந்தை

💆தாய்

👷சகோதரன்

🙅சகோதரி

40. நான்கு விசயங்களை குறை!

👎உணவு

👎தூக்கம்

👎சோம்பல்

👎பேச்சு

41. நான்கு விசயங்களை தூக்கிப்போடு!

🏃துக்கம்

🏃கவலை

🏃இயலாமை

🏃கஞ்சத்தனம்

42. நான்கு நபர்களுடன் சேர்ந்து இரு!

👬மனத்தூய்மை உள்ளவன்

👬வாக்கை நிறைவேற்றுபவன்

👬கண்ணியமானவன்

👬உண்மையாளன்

43. நான்கு விசயங்கள் செய்!

🌷 தியானம், யோகா

🌷 நூல் வாசிப்பு

🌷 உடற்பயிற்சி

🌷 சேவை செய்தல்

☘ ☘ ☘ ☘ ☘ 

விந்தை எண்கள்

அழகானது கணிதம்

ச.சீ.இராஜகோபாலன்

தலை சிறந்த தத்துவ ஞானியும், கணிதப் பேராசிரியராகவும் சமூகப் போராளியாகவும் திகழ்ந்த பெர்ட்ரண்ட் ரஸ்ஸல் கூறுவார்: கணிதம் உண்மையைக் கூறுவது மட்டுமல்ல, அளவிலா அழகு படைத்தது, ஓர் ஒப்புயர்வற்ற சிற்பம் போல கணிதம் அழகுமிக்கது. ராமானுஜனின் இங்கிலாந்து சக கணித அறிஞர் ஹார்டி சொன்னார்: கணிதம் அழகின் உருவம். அழகிலா கணிதம் என்று ஒன்றில்லை.

சமன்பாடுகள்

எண்களில் அமைந்துள்ள ஒழுங்கைப் பற்றிப் பலரும் ஆய்ந்திருக்கிறார்கள்.அவர்களில் பலரும் கணிதத்தில் பட்டம் பெற்றவர் அல்லர். அவர்கள் கணிதத் துறையோடு சம்பந்தப்பட்டவர்களும் அல்லர். பொழுதுபோக்காக எண்களையும், அவற்றில் உள்ள சிறப்புகளையும் கண்டறிய முற்பட்டுப் பல அற்புதங்களை வெளிப்படுத்தியுள்ளனர். நான் சிலவற்றை விவரிக்கிறேன். இவை என்னுடைய கண்டுபிடிப்புகள் அல்ல.

கீழ்க்காணும் எண் சமன்பாடுகளைச் சரிபார்க்கவும். இடப்புறமும் வலப்புறமும் சமமாக இருக்கின்றதா என்று காணவும்.

1+2 = 3

4+5+6 = 7+8

9+10+11+12 = 13+14+15

16+17+18+19+20 = 21+22+23+24

அடுத்த வரி என்னவென்று ஊகிக்க முடியுமா?

10-ஆவது வரியைக் காண முடியுமா?

மேலே உள்ள வரிசைகளின் முதல் உறுப்புகள் முறையே 1, 4, 9, 16. இவற்றுக்கும் எண்வரிசைக்கும் தொடர்பு ஏதேனும் உண்டா?

இடப்புறம் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கைக்கும் வலப்புறம் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கைக்கும் ஏதேனும் சம்பந்தம் உள்ளதா?

எண்களை வரிசைப்படுத்தலி லும், கூட்டல் போடவும் இது ஒன்றாம் வகுப்பு மாணவருக்கு நல்ல பயிற்சியாகும். வர்க்க எண்கள் பற்றி அறிந்ததும் எந்த வரிசையும் காண இயலும். 10-ம் வகுப்பு மாணவர் n-ஆவது வரிசை எழுத முயல்க.

எண் தொடர்புகள்

இப்போது கீழ்க்காணும் எண் தொடர்புகளைச் சரிபார்க்கவும்.

3 2 + 4 2 = 5 2

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 +15 2

21 2 + 22 2 + 23 2 + 24 2 = 25 2 + 26 2 +27 2

அடுத்த வரிசையைக் கூற முடியுமா? கொஞ்சம் யோசிக்கவும். முடியவில்லை என்றால் இதோ நானே கொடுத்துவிடுகின்றேன்.

36 2 + 37 2 + 38 2 + 39 2 + 40 2 = 41 2 + 42 2 + 43 2 + 44 2

இடது, வலது பக்கக் கூட்டுத் தொகைகள் சமமாக இருக்கின்றனவா? அடுத்த வரிசை காண முடிகிறதா? இல்லையென்றால் வரிசைகளின் முதல் உறுப்புகளான 3, 10 , 21 , 36 ஆகியவற்றையோ அல்லது இடப்புறத்தில் கடைசி உறுப்புகளான 4, 12, 24, 40 ஆகியவற்றையோ உற்றுப் பார்த்து அவற்றிடையே உள்ள உறவைக் காணுங்கள். அடுத்த வரி எழுத முடியும். 10-ம் வகுப்பு மாணவர் எந்த வரிசையையும் எழுத முடியும்.

சில சிறப்புகள்

சில எண்களில் மறைந்துள்ள சிறப்புகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. பார்த்து ரசியுங்கள். நீங்கள் இது போன்று ஏதேனும் காண முற்பட்டுள்ளீர்களா, இல்லையென்றால் கொஞ்சம் நேரம் ஒதுக்குங்கள்.

2025 = 45 2 ; 45 = 20+25

3025 = 55 2 ; 55 = 30+25

1233 = 12 2 + 33 2

8833 = 88 2 + 33 2

153 = 1 3 + 5 3 + 3 3

370 = 3 3 + 7 3 + 0 3

371 = 3 3 + 7 3 + 1 3

407 = 4 3 + 0 3 + 7 3

333667001 = 333 3 + 667 3 + 001 3

இத்தகைய விந்தை எண்களைக் கண்ட காப்ரேகர் உள்ளிட்ட கணித ஆர்வலர்கள் கணினி, கால்குலேட்டர் காலத்திற்கு முன்னர் பென்சிலும், காகிதமும் வைத்துக் கொண்டு பல மணி நேரம் செலவழித்துக் கண்டுபிடித்தார்கள் என்றால் அவர்களது ஆர்வத்தை என்னவென்பது? ஆக, கணிதம் எனும் அழகை ஆராதியுங்கள். கணிதம் இனிக்கும். ஆனால் தெவிட்டாது.