கணிதம் -1

-பெர்மா (Pierre de Fermat) என்பவர் பிரான்சு நாட்டில் 17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். சட்டப் படிப்பு முடித்து பிரான்சு உயர் நீதிமன்றத்தில் நீதிபதியாகப் பணியாற்றினார். ஒய்வு நேரத்தில் கணக்கு போடுவதை பழக்கமாகக் கொண்டிருந்தார். பண்டைக் காலத்தில் இயற்றப்பட்ட கணித புத்தகங்களை தேடிப் பிடித்து, படித்து மகிழ்ந்தார். சில புதிய கருத்துகளை அவரே கண்டறிந்து ஆங்காங்கே குறித்தும் வந்தார். 

பண்டைய கிரேக்க கணித மேதை டயோப்ஹாண்ட்ஸ் (Diophantus) இயற்றிய 'அரித்மெடிக்கா' எனும் நூலை பெர்மா படிக்க நேர்ந்தது. வடிவியல் மற்றும் எண்ணியல் சார்ந்த பல கோட்பாடுகளை உள்ளடக்கியது அந்த நூல். மிகுந்த ஆர்வத்துடன் அவற்றைப் படித்த பெர்மா, தம் மனத்தில் உதித்த புதிய சிந்தனைகளை, அந்தப் புத்தகத்தின் பக்கங்களில் இருக்கும் விளிம்புகளிலேயே குறித்துவைத்தார். இவ்வாறு பெர்மா குறித்த 48 கோட்பாடுகள், கணித உலகில் பெரும் பரபரப்பை ஏற்படுத்தி வந்தது. 

அரித்மெடிக்கா புத்தகத்தில், "குறிப்பிட்ட இரு இயல் எண்களின் வர்க்க கூடுதல் மதிப்பு, மற்றொரு வர்க்க எண்ணை வழங்கும்” (Sum of two squares is another square) என்ற குறிப்பு பெர்மாவை மிகவும் கவர்ந்தது. உதாரணமாக, 3, 4 ஆகிய எண்களின் வர்க்க கூடுதல் மதிப்பு 5 என்ற எண்ணின் வர்க்க மதிப்பை 
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 => 32 + 42 = 52 வழங்கும். இதேபோல் 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172 ஆகியவையும் அமையும். 
இப்படி, இரு வர்க்க எண்களின் கூடுதல் மதிப்பு, ஓர் எண்ணின் வர்க்க மதிப்பை வழங்கும்போது, அந்த எண்களை ஒரு செங்கோண (Right Triangle) முக்கோணத்தின் பக்க அளவுகளாகக் கருதலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் அளவு 3, 4 ஆக இருந்தால், கர்ணத்தின் (Hypotenuese) அளவு 5 ஆக இருக்கும். இதுவே வடிவியலில் 'பிதாகரஸ் தேற்றம்' என அமைகிறது. இந்தப் பண்பை பெற்ற மூன்று எண்களை, நாம் பிதாகோரியன் எண்கள் (Pythagorean Triplets) என அழைக்கிறோம். 
எண்களுக்கும் வடிவியலுக்கும் இடையிலான அற்புத தொடர்பை வெளிப்படுத்தும், இந்தச் சிந்தனையை பெர்மாவை மகிழ்ச்சியில் ஆழ்த்தியது. அப்போது அவர் மனத்தில் மின்னல் போன்று ஒரு சிந்தனை பளிச்சிட்டது. இரு எண்களின் வர்க்க மதிப்புகள், மீண்டும் ஒரு வர்க்க மதிப்பை வழங்கும் இந்தப் பண்பு, இரு எண்களின் முப்படிகளுக்கோ, நாற்படிகளுக்கோ அல்லது அதிக எண்ணிக்கையுள்ள படிகளுக்கோ பொருந்துமா? என யோசித்தார். ஓர் அரிய உண்மையை உணர்ந்தார். 

“இரு முப்படிகளின் கூடுதல் முப்படியாகாது; இரு நாற்படிகளின் கூடுதல் நாற்படியாகாது; பொதுவாக, இரண்டு படிகளுக்கு மேல் இருக்கும் எண்களின் கூடுதல் மதிப்பு, அதே படிகளைக் கொண்ட ஓர் எண்ணிற்கு சமமாக இருக்காது” என்பதே பெர்மா கண்டறிந்த உண்மை. இதை அவர் வழக்கமாக புத்தகத்தின் விளிம்பில் சிறிய குறிப்பாக எழுதி வைத்தார். மேலும், அந்தக் குறிப்பின் இறுதியில், 'இதன் நிரூபணம் எனக்கு தெரியும், ஆனால், அதை இங்கு எழுத இடமில்லை' என்று குறும்பாக எழுதி வைத்தார்.
கணித மொழியில் கூறினால், பெர்மா தெரிவித்தது இதுதான்: 
n > 2 எனும்பொழுது an + bn ≠ cn என அமையும். கணித உலகில் இது, 'பெர்மா இறுதி தேற்றம்' என அழைக்கப்படுகிறது. பெர்மாவின் காலத்திற்குப் பிறகு, அவரது மகன் மூலம் இந்தக் குறிப்புகள் பற்றி பிறருக்கு தெரிய வந்தன. இந்தக் குறிப்பை நிறுவுவதற்கு, கணித உலகம், மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்கு மேல் காத்திருக்க வேண்டி இருந்தது. இங்கிலாந்தைச் சேர்ந்த ஆண்ட்ரியூ வைல்ஸ் (Andrew Wiles) என்பவர், 1994ம் ஆண்டில், இதை நிறுவினார். 
அமெரிக்காவில் வங்கி ஊழியராகப் பணியாற்றிய ஆண்ட்ரியூ பீல் என்பவர் பெர்மா வழங்கியது போன்ற ஒரு கணித உண்மையை, 1993ம் ஆண்டில் தெரிவித்தார். இன்றைக்கு இது, 'பீல் ஊகம்' என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது என்னவென்று தெரிந்துகொள்வதற்கு முன்னர், 33 + 63 = 27 + 216 = 243; 
35 = 243 = 33 + 63 = 35 என்ற சமன்பாட்டை சிறிது ஆராய்வோம். 
இதில், இரு எண்களின் முப்படிகளின் கூடுதல் மதிப்பு, மற்றொரு எண்ணின் ஐந்து படிக்கு சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். அதே சமயம், 3, 6, 3 ஆகிய எண்கள் அனைத்தும், மூன்றால் வகுபடுவதையும் உணரலாம். இதேபோல் மற்றொரு சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம். 
73 + 74 = 343 + 2401 = 2744; 
143 = 2744 =-> 73 + 74 = 143
இங்கு, ஓர் எண்ணின் முப்படி மற்றும் நாற்படியின் கூடுதல் மதிப்பு மற்றொரு எண்ணின் முப்படிக்கு சமமாக அமைகிறது. மேலும், 7, 7, 14 ஆகிய எண்கள் அனைத்தும், ஏழால் வகுபடுவதை காணலாம். பொதுவாக, இரு வெவ்வேறு எண்களின், படிகளின் கூடுதல் மதிப்பு, மற்றொரு எண்ணின் ஏதோ ஒரு படிக்கு சமமாக அமைவதை இந்த சமன்பாடுகள் வெளிபடுத்துகின்றன. 
ஆண்ட்ரியூ பீல் இதைக் கண்டுபிடித்து, கீழ்க்கண்ட குறிப்பை ஏற்படுத்தினார். 
“ x, y, z > 2 எனும்போது, ax + by = cz ஆக இருந்தால், a, b, c ஆகிய மூன்று எண்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் வகுபடும்” 
இதில் x = y = z எனும்போது, பெர்மா இறுதி தேற்றத்தை பெற்றுவிடலாம். இந்த முடிவை கணித உலகம், 'பொது பெர்மா சமன்பாடு', 'மவுல்டின் ஊகம்' (Mauldin Conjencture), 'திஜ்டீமான் - ஜேகியர் ஊகம்' (Tijdeman - Zagier Conjecture) எனப் பல பெயர்களில் அழைக்கிறது. 
பீல் கணிதத்தில் பெரும் புலமை பெற்றவர் அல்ல. அதனால், அவரால் அவரது ஊகத்தை நிரூபிக்க இயலவில்லை. எனினும், இதை முதலில் தீர்ப்பவருக்கு பெரிய பரிசுத் தொகை அளிப்பதாக அவர், 1997ஆம் ஆண்டில் அறிவித்தார். ஆண்டுகள் செல்லச் செல்ல இந்த பரிசுத் தொகை அதிகரித்து இன்று ஒரு மில்லியன் அமெரிக்க டாலர்களாக உயர்ந்துள்ளது. இருந்தும் இன்று வரையில் இதற்கான நிரூபணத்தையோ அல்லது இதை பிழையென தெரிவிக்கவோ எவராலும் முடியவில்லை. உலகளவில் பல கணித அறிஞர்கள் இதற்கான தீர்வைத் தேடி போராடுகின்றனர்.