ஆருர் துளிர்: July 2017

Sunday, 30 July 2017

உள்ளம்தோறும் வள்ளுவம்

அதிகாரம்:84; பேதைமை 04

ஓதி உணர்ந்தும் பிறர்க்குரைத்தும் தானடங்காப்
பேதையிற் பேதையார் இல்

Saturday, 22 July 2017

கணிதம்-5

*கணித வரலாறு கற்பிக்கப்படுவது - அவசியமா? - விழியன்*

வரலாறு அவசியமான ஒன்றா? எதற்கு ஆண்டுகளை நினைவு வைத்திருக்க வேண்டும்? அதனை வாழ்கையில் எங்கேனும் பயன்படுத்துகின்றோமா என்ற கேள்வி எழுவது நியாயமானதே. ஆனால் யோசித்துப்பாருங்கள் சென்னை 2017 என்றதும் ஒரு மனச்சித்திரம் உருவாகும், சென்னை 1966 என்றதும் ஒரு மனச்சித்திரம் உருவாகும், சென்னை 1947 என்றதும் சுதந்திர நாட்களை நினைவுபடுத்தும். இடமும் வருடமும் உடனே அந்த காலகட்டத்தில் இருந்த சமூகம், மனிதர்கள், கட்டமைப்பு, சிக்கல்கள் என எவ்வளவு வாசித்திருக்கின்றோம், அறிந்திருக்கின்றோம் என்பதைப் பொருத்து விரியும்.

சரி கணித வரலாற்றின் அவசியம் என்ன? ஒவ்வொரு கண்டுபிடிப்பிற்கும் ஒவ்வொரு அடுத்தகட்ட முயற்சிக்கும் காரணம் தேவைகள் மட்டுமே. நைல் நதிக்கரையோரம் மனிதர்கள் வந்து வாழ்கையை அமைத்துக்கொள்கின்றார்கள். நதி வரமாக இருக்கும் போது அது சாபமாகவும் விளைகின்றது. எப்போது வெள்ளம் வரும் ஊரை அடித்துச்செல்லும் என்று தெரியவில்லை. மெல்ல மெல்ல நாட்காட்டியை உருவாக்குகின்றான். சீர் செய்கின்றான். நிலத்தினை பங்கு போட விழைகின்றான், வரி வசூலிக்க நினைக்கின்றான் அப்போது கணிதம் மேலும் வலு பெறுகின்றது. இது எந்த நாகரீகம் புரிகின்றதா?

எண்களின் வரலாற்றினை வாசிக்கும் போதே நாகரீகத்தின் வரலாறும் கூடவே வாசிப்போம். ஆடு மேய்பவர்கள் Number theoryக்கு எப்படி அடித்தளம் இட்டார்கள். கணித முன்னேற்றம் என தனியே பிரித்துவிட முடியாது அதன் கூடவே அறிவியல் முன்னேற்றமும் ஒட்டிக்கொண்டே வருகின்றது ஒவ்வொரு காலகட்டத்திலும்.

பிரமிட்டுகளை எகிப்த்தியர்கள் உருவாக்குகின்றார்கள் என்று வாசித்தால் மட்டும் போதுமா? ஏன் கட்டிட நினைத்தார்கள்? கட்ட நினைத்த போது அவர்கள் முன்னர் இருந்த சவால்கள் என்ன? இந்த கேள்விகள் முக்கியமாகின்றது. இது கணித முன்னேற்றங்களுக்கு மட்டுமல்ல அறிவியல் கண்டுபிடிப்புகளை வாசிக்கும் போதும் எழ வேண்டும்.

பையின் மதிப்பினை மதிப்பிட என்ன முறைகளை எல்லாம் கையாண்டார்கள்? அந்த அந்த காலகட்டத்தில் இருந்த வளர்ச்சிகள் என்ன என்று கதை வடிவில் அவர்கள் கேட்கும் போது பை பற்றிய விஷயமும் ஆழமாக பதியும். (இன்று 22/7 - ஆரம்பத்தில் இதுவும் பையின் தோராயமான மதிப்பு என்று கருதப்பட்டது).

வரலாற்றினை படிக்கும் போது நிறைய கேள்விகள் எழும், எழனும். இந்தியா கணிதத்தில் சளைத்தவர்கள் அல்ல, பூஜ்ஜியத்தை கண்டுபிடித்தார்கள் ஆனாலும் வழி நெடுகிலும் விரல்விட்டு எண்ணக்கூடிய அளவே கணிதவியளாலர்கள் அறியப்படுகின்றார்கள்? ஏன்? சமகாலத்தில் நாம் என்ன பங்களிக்கின்றோம்? என்ன முன்னேற்றங்கள் கண்டுள்ளோம்? எதை நோக்கிச் செல்கின்றது? அவர்கள் தற்காலத்தில் சந்திக்கும் சவால்கள் என்ன? என்ற கேள்விகள் எழுந்தால் அதுவே கணித வரலாறு சரியாக கற்பிக்கப்படுகின்றது என்பதற்கான அர்த்தம்.

நமக்கான சவால் என்பது கணித வரலாற்றினை ஒரு சோர்வான பாடமாக்காமல் எப்படி சுவாரஸ்யமாக இத்தனை விஷயங்களையும் உள்ளடக்கி கணிதம் ஒரு சுவையான பாடமாக மாற்றப்போகின்றோம் என்பதில் இருக்கின்றது.

பாடதிட்டம் முழுதையும் சொல்லிக்கொடுத்துவிட முடியாது ஆனால் ஒரு வெளியை, ஒரு சன்னலை திறந்துவிட வேண்டும். அங்கிருந்து மாணவன் தனக்கான வெளியை தேர்வு செய்துகொள்வான்.

- விழியன்

Friday, 21 July 2017

கணிதம்-4

கணிதம்

தென் அமெரிக்காவில் இருந்த பழம் மாயா மக்களின் எண்முறை
கணிதம் (Mathematics) என்பது வணிகத்தில், எண்களுக்கு இடையான தொடர்பை அறிவதில், நிலத்தை அளப்பதில், அண்டவியல் நிகழ்வுகளை வருவதுரைப்பதில் மனிதனுக்கு இருந்த கணித்தலின் தேவைகள் காரணமாக எழுந்த ஓர் அறிவியல் பிரிவாகும். இந்த நான்கு தேவைகளும் பின்வரும் நான்கு பெரிய கணிதப் பிரிவுகளை பிரதிபடுத்துகின்றன:
அளவு (quantity) - எண்கணிதம்
அமைப்பு (structure) - இயற்கணிதம்
வெளி (space) - வடிவவியல்
மாற்றம் (change) - பகுவியல் (analysis) - நுண்கணிதம்
ஆனால் இத்துடன் கணிதம் நிற்கவில்லை.

கணிதத்தில் பல்வகை நுட்பம் செறிந்த வடிவங்களைத் துல்லியமாக விளக்கலாம், அலசலாம். இப்படத்தைக் வரைபடமாகத் தரும் சார்பு:
பொருளடக்கம்
1 கணிதம் என்றால் என்ன?
2 தற்கால கணிதத்தின் விசுவரூபம்
3 கணிதக்கட்டுரை விமரிசனங்கள்
4 இந்தியக்கணித வரலாறு
5 தற்காலத்திய கணிதத்தின் வரலாறு
6 கணிதம் சம்பந்தமான பல்வேறு துணப் பிரிவுகள்
6.1 அளவு (Quantity)
6.2 அமைப்பு (Structure)
6.3 வெளி (Space)
6.4 மாற்றம் (Change)
6.5 கணித அடித்தளங்கள்
6.6 இலக்கமியல் கணிதம்
7 இவற்றையும் பார்க்கவும்

கணிதம் என்றால் என்ன?
எண்களை வைத்துக்கொண்டு உண்டாக்கப்பட்ட கணிப்பியலோ (arithmetic) வடிவங்களை வைத்துக்கொண்டு உண்டாக்கப்பட்ட வடிவியலோ இவைதான் கணிதவியல் என்று நினைப்போர் பலர். இன்னும் சிலர் எண்களுக்குப் பதிலாக குறிப்பீடுகளை வழங்கி அவைகளையும் எண்கள்போல் கணிப்புகள் செய்யும் இயற்கணிதம் தான் கணிதத்தின் முக்கிய பாகம் என்பர். மற்றும் சிலர் வடிவங்களை அலசி ஆராயும் வடிவியல் வளர்ச்சி தான் கணிதத்தின் இயல்பு என்று கூறுவர். ஆனால் கணிதம் இதையெல்லாம் தாண்டிய ஒன்று.

தற்கால கணிதத்தின் விசுவரூபம்

கணிதவியலின் இன்றைய வெளிப்பாடுகளில் இவையெல்லாம் ஒரு கடுகத்தனை பாகம் தான். கணிதம் எண்களில் தொடங்கியதும், எண்களிலும் வடிவங்களிலும் சிறந்த மேதாவிகள் புகுந்து விளையாடின ஈடுபாடுகளினால் பெரிய மரமாக வளர்ந்ததும் உண்மைதான். ஆனால் அத்துடன் அது நிற்கவே இல்லை. இன்று ஒரு அரிய தத்துவ இயலாக, வானளாவிய மரங்கள் கொண்ட பரந்த, செழித்த காடாகவே விசுவரூபம் எடுத்து இன்னும் வேகமாக வளர்ந்துகொண்டே இருக்கிறது. கணிதமில்லாமல் இன்று வேறு எந்தத் துறையுமே முன்னேற முடியாது என்று சொல்லும் அளவிற்கு, கணிதம் எல்லாத் துறைகளிலும் உள்ளார்ந்து படர்ந்திருக்கிறது.

கணிதக்கட்டுரை விமரிசனங்கள்

கணித விமரிசனங்கள் (Mathematical Reviews) என்ற ஒரு பத்திரிகை 1940 இல் ஒரு சில பக்கங்களுடன் தொடங்கி ஒவ்வொருமாதமும் கணிதத்தில் எழுதப்படும் புது ஆய்வுக்கட்டுரைகளை விமரிசிக்கவென்றே ஏற்படுத்தப்பட்டது. அது இன்று மாதத்திற்கு 2000 பக்கங்கள் கொண்டதாக வளர்ந்து, ஆயிரக்கணக்கான ஆய்வுப்பத்திரிகைகளிலிருந்து ஏறக்குறைய இருபது லட்சம் கட்டுரைகளின் விமரிசனத்தை கணிதப் பொக்கிஷமாகக் காத்து வருகிறது.

இந்தியக்கணித வரலாறு

"எண்ணென்ப ஏனை எழுத்தென்ப இவ்விரண்டும்
கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு" - திருவள்ளுவர்
என்று கூறி கணிதத்தின் முக்கியத்துவத்தை திருவள்ளுவர் 2000 வருடங்களுக்கு முன்பே நிலைநிறுத்தியுள்ளார். திருக்குறளில் ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, நான்கு, ஐந்து, "அறு", "எழு", "எண்", பத்து, "கோடி" ஆகிய எண்கள் அல்லது தொகையீடுகள் அங்காங்கே பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. எனினும் "தொண்டு" அல்லது "தொன்பது" பயன்படுத்தப்படவில்லை.

தமிழ் எண்ணுருக்கள், தமிழில் பூச்சியத்துக்கு குறியீடு இல்லை.
எண்களை எழுதுவதில் இடமதிப்புத் திட்டத்தையும் பூச்சியம் என்ற கருத்தையும் உருவாக்கி வருங்காலக்கணிதக்குறியீட்டுமுறைக்கு அடிகோலிட்டது பழையகால இந்தியா. இதைத்தவிர இந்தியக் கணிதவியலர்கள் (ஆரியபட்டர், பிரம்மகுப்தர், பாஸ்கராச்சாரியர், இன்னும் பலர்) மேற்கத்தியநாடுகள் மறுமலர்ச்சியடைந்து அறிவியலில் வளர்வதற்கு முன்னமேயே பலதுறைகளில் முன்னேற்றம் கண்டிருந்தனர்.
வேதகாலத்துக்கணிதத்தின் கணிப்பு முறைகள்
சுல்வசூத்திரங்களின் வடிவியல்

சூனியமும் இடமதிப்புத் திட்டமும்

எண்களின் அடிப்படைகளைப்பற்றி ஜைனர்கள்
பாக்சாலி கையெழுத்துப்பிரதிகளின் சமன்பாடுகள்
வானவியல்
கேரளத்தில் நுண்கணிதத்தின் முதல் கண்டுபிடிப்புகள்
இவையெல்லாம் இந்தியக்கணிதத்தின் சிறப்புகள்.

தற்காலத்திய கணிதத்தின் வரலாறு

14 வது நூற்றாண்டில் தொடங்கி, சென்ற ஆறு நூற்றாண்டுகளில் கணிதத்தின் வளர்ச்சியைத் தெரிந்துகொள்ள கணிதவியலாளர்கள் பலரின் வரலாறுகளே தக்க சான்றுகள். ஃபெர்மா, நியூட்டன், ஆய்லர், காஸ், கால்வா, ரீமான், கோஷி, ஏபல், வியர்ஸ்ட்ராஸ், கெய்லி, கேன்ட்டர், ஹில்பர்ட், இப்படி இன்னும் நூற்றுக்கணக்கானவர்கள் பங்கு கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட கணிதம் இன்றைய கணிதம்.

கணிதம் சம்பந்தமான பல்வேறு துணப் பிரிவுகள்

கணிதத்தின் தற்காலப் பிரிவுகளைப் பற்றி பட்டியலிடவேண்டுமானால் அப்பட்டியலில் 100 தாய்ப்பிரிவுகளாவது இருக்கும். இப்பிரிவுகளுக்குள் மிகவும் வியப்பு தரும் உறவுகள் உண்டு. இவைகளிலெல்லாம் கணிதத்திற்கென்றே தனித்துவம் வாய்ந்த மரபும் குறிப்பிடத்தக்கது. இம்மரபுதான் கணிதத்தை மற்ற அறிவியல் துறைகளிலிருந்து பிரித்துக் காட்டுகிறது.இவைதவிர, கணிதத்தின் அடிப்படைகளுக்கும் மற்ற துறைகளுக்குமான தொடர்பை தருக்கவியலும் ஆய்கின்றது. மேலும் புள்ளியியல் போன்ற நேரடியாகப் பயன்படும் கணிதத் துறைகளும் உண்டு

அளவு (Quantity)
எண்கணிதம்
அளவியல்
இயல்பெண்கள்
முழு எண்கள்
விகிதமுறு எண்கள்
மெய்யெண்கள்
செறிவெண்கள்

அமைப்பு (Structure)
இயற்கணிதம்
எண் கோட்பாடு
நுண்புல இயற்கணிதம்
குலக் கோட்பாடு (Group Theory)
Order theory

வெளி (Space)
வடிவவியல்
முக்கோணவியல்
வகையீட்டு வடிவவியல் (Differential geometry)
இடவியல்
பகுவல்

மாற்றம் (Change)
நுண்கணிதம்
திசையன் நுண்கணிதம்
வகையீட்டு சமன்பாடுகள்
இயங்கியல் அமைப்புகள் (Dynamical systems)
ஒழுங்கின்மை கோட்பாடு

கணித அடித்தளங்கள்
தருக்கவியல் (கணிதம்)
கணக் கோட்பாடு, கணம் (கணிதம்)
விகுதிக் கோட்பாடு (Category theory)

இலக்கமியல் கணிதம்
சேர்வியல்
கணிமைக் கோட்பாடு
வரைவியல் (Cryptography)
கோலக்கோட்பாடு (Graph theory)

கணிதம்-3

தற்கால கணிதத்தின் விசுவரூபம்

கணிதக்கட்டுரை விமரிசனங்கள்

இந்தியக்கணித வரலாறு

சூனியமும் இடமதிப்புத் திட்டமும்

தற்காலத்திய கணிதத்தின் வரலாறு

கணிதம் சம்பந்தமான பல்வேறு துணப் பிரிவுகள்

அறிவியல்

சூடத்தை ( கற்பூரத்தை ) கொளுத்தி நீரில் விட்டால் நகர்கிறது ஏன்? எரியும் சூடத்துக்கு அருகில் உள்ள நீர் –ஆவியாகிச் சூடத்தை அங்குமிங்கும் தள்ளுகிறது. அத்துடன் பரப்புஇழுவிசையில் ஏற்படும் மாற்றங்களும் சேர்ந்து கொள்ளுகின்றன.

Wednesday, 19 July 2017

கணிதம்-2

TRICKS FOR SQUARE ROOT 41 TO 59....
___________________________________________
41= 16(9×9) =1681
42= 17(8*8)=1764
43= 18(7*7)=1849
44=19(6*6)=1936
45=20(5*5)=2025
46= 21(4*4)=2116
47=22(3*3)=2209
48= 23(2*2)=2304
49= 24(1*1)=2401
TRICKS FOR SQUARE ROOT 51 TO 69..
________________________________________
51=26(1*1)=2601
52=27(2*2)=2704
53=28(3*3)=2809
54=29(4*4)=2916
55=30(5*5)=3025
56=31(6*6)=3136
57=32(7*7)=3249
58=33(8*8)=3364
59=34(9*9)=3481 Last la irundhu 2 digit...2 digit ku camaa poadanum

Last digit 1 naa...9 or 1 la mudiyum
Last 4 naa....8 or 2
Last 9 naa...7 or 3
Last 6 naa...6 or 4
Last 5 naa...5

Adhea poala 1st digit ku...approximate enna square root varum nu paakkanum...idha vachu easy yaa calculate pannalaam

கணிதம் -1

-பெர்மா (Pierre de Fermat) என்பவர் பிரான்சு நாட்டில் 17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். சட்டப் படிப்பு முடித்து பிரான்சு உயர் நீதிமன்றத்தில் நீதிபதியாகப் பணியாற்றினார். ஒய்வு நேரத்தில் கணக்கு போடுவதை பழக்கமாகக் கொண்டிருந்தார். பண்டைக் காலத்தில் இயற்றப்பட்ட கணித புத்தகங்களை தேடிப் பிடித்து, படித்து மகிழ்ந்தார். சில புதிய கருத்துகளை அவரே கண்டறிந்து ஆங்காங்கே குறித்தும் வந்தார்.

பண்டைய கிரேக்க கணித மேதை டயோப்ஹாண்ட்ஸ் (Diophantus) இயற்றிய 'அரித்மெடிக்கா' எனும் நூலை பெர்மா படிக்க நேர்ந்தது. வடிவியல் மற்றும் எண்ணியல் சார்ந்த பல கோட்பாடுகளை உள்ளடக்கியது அந்த நூல். மிகுந்த ஆர்வத்துடன் அவற்றைப் படித்த பெர்மா, தம் மனத்தில் உதித்த புதிய சிந்தனைகளை, அந்தப் புத்தகத்தின் பக்கங்களில் இருக்கும் விளிம்புகளிலேயே குறித்துவைத்தார். இவ்வாறு பெர்மா குறித்த 48 கோட்பாடுகள், கணித உலகில் பெரும் பரபரப்பை ஏற்படுத்தி வந்தது.

அரித்மெடிக்கா புத்தகத்தில், "குறிப்பிட்ட இரு இயல் எண்களின் வர்க்க கூடுதல் மதிப்பு, மற்றொரு வர்க்க எண்ணை வழங்கும்” (Sum of two squares is another square) என்ற குறிப்பு பெர்மாவை மிகவும் கவர்ந்தது. உதாரணமாக, 3, 4 ஆகிய எண்களின் வர்க்க கூடுதல் மதிப்பு 5 என்ற எண்ணின் வர்க்க மதிப்பை
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 => 32 + 42 = 52 வழங்கும். இதேபோல் 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172 ஆகியவையும் அமையும்.
இப்படி, இரு வர்க்க எண்களின் கூடுதல் மதிப்பு, ஓர் எண்ணின் வர்க்க மதிப்பை வழங்கும்போது, அந்த எண்களை ஒரு செங்கோண (Right Triangle) முக்கோணத்தின் பக்க அளவுகளாகக் கருதலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் அளவு 3, 4 ஆக இருந்தால், கர்ணத்தின் (Hypotenuese) அளவு 5 ஆக இருக்கும். இதுவே வடிவியலில் 'பிதாகரஸ் தேற்றம்' என அமைகிறது. இந்தப் பண்பை பெற்ற மூன்று எண்களை, நாம் பிதாகோரியன் எண்கள் (Pythagorean Triplets) என அழைக்கிறோம்.
எண்களுக்கும் வடிவியலுக்கும் இடையிலான அற்புத தொடர்பை வெளிப்படுத்தும், இந்தச் சிந்தனையை பெர்மாவை மகிழ்ச்சியில் ஆழ்த்தியது. அப்போது அவர் மனத்தில் மின்னல் போன்று ஒரு சிந்தனை பளிச்சிட்டது. இரு எண்களின் வர்க்க மதிப்புகள், மீண்டும் ஒரு வர்க்க மதிப்பை வழங்கும் இந்தப் பண்பு, இரு எண்களின் முப்படிகளுக்கோ, நாற்படிகளுக்கோ அல்லது அதிக எண்ணிக்கையுள்ள படிகளுக்கோ பொருந்துமா? என யோசித்தார். ஓர் அரிய உண்மையை உணர்ந்தார்.

“இரு முப்படிகளின் கூடுதல் முப்படியாகாது; இரு நாற்படிகளின் கூடுதல் நாற்படியாகாது; பொதுவாக, இரண்டு படிகளுக்கு மேல் இருக்கும் எண்களின் கூடுதல் மதிப்பு, அதே படிகளைக் கொண்ட ஓர் எண்ணிற்கு சமமாக இருக்காது” என்பதே பெர்மா கண்டறிந்த உண்மை. இதை அவர் வழக்கமாக புத்தகத்தின் விளிம்பில் சிறிய குறிப்பாக எழுதி வைத்தார். மேலும், அந்தக் குறிப்பின் இறுதியில், 'இதன் நிரூபணம் எனக்கு தெரியும், ஆனால், அதை இங்கு எழுத இடமில்லை' என்று குறும்பாக எழுதி வைத்தார்.
கணித மொழியில் கூறினால், பெர்மா தெரிவித்தது இதுதான்:
n > 2 எனும்பொழுது an + bn ≠ cn என அமையும். கணித உலகில் இது, 'பெர்மா இறுதி தேற்றம்' என அழைக்கப்படுகிறது. பெர்மாவின் காலத்திற்குப் பிறகு, அவரது மகன் மூலம் இந்தக் குறிப்புகள் பற்றி பிறருக்கு தெரிய வந்தன. இந்தக் குறிப்பை நிறுவுவதற்கு, கணித உலகம், மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்கு மேல் காத்திருக்க வேண்டி இருந்தது. இங்கிலாந்தைச் சேர்ந்த ஆண்ட்ரியூ வைல்ஸ் (Andrew Wiles) என்பவர், 1994ம் ஆண்டில், இதை நிறுவினார்.
அமெரிக்காவில் வங்கி ஊழியராகப் பணியாற்றிய ஆண்ட்ரியூ பீல் என்பவர் பெர்மா வழங்கியது போன்ற ஒரு கணித உண்மையை, 1993ம் ஆண்டில் தெரிவித்தார். இன்றைக்கு இது, 'பீல் ஊகம்' என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது என்னவென்று தெரிந்துகொள்வதற்கு முன்னர், 33 + 63 = 27 + 216 = 243;
35 = 243 = 33 + 63 = 35 என்ற சமன்பாட்டை சிறிது ஆராய்வோம்.
இதில், இரு எண்களின் முப்படிகளின் கூடுதல் மதிப்பு, மற்றொரு எண்ணின் ஐந்து படிக்கு சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். அதே சமயம், 3, 6, 3 ஆகிய எண்கள் அனைத்தும், மூன்றால் வகுபடுவதையும் உணரலாம். இதேபோல் மற்றொரு சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம்.
73 + 74 = 343 + 2401 = 2744;
143 = 2744 =-> 73 + 74 = 143
இங்கு, ஓர் எண்ணின் முப்படி மற்றும் நாற்படியின் கூடுதல் மதிப்பு மற்றொரு எண்ணின் முப்படிக்கு சமமாக அமைகிறது. மேலும், 7, 7, 14 ஆகிய எண்கள் அனைத்தும், ஏழால் வகுபடுவதை காணலாம். பொதுவாக, இரு வெவ்வேறு எண்களின், படிகளின் கூடுதல் மதிப்பு, மற்றொரு எண்ணின் ஏதோ ஒரு படிக்கு சமமாக அமைவதை இந்த சமன்பாடுகள் வெளிபடுத்துகின்றன.
ஆண்ட்ரியூ பீல் இதைக் கண்டுபிடித்து, கீழ்க்கண்ட குறிப்பை ஏற்படுத்தினார்.
“ x, y, z > 2 எனும்போது, ax + by = cz ஆக இருந்தால், a, b, c ஆகிய மூன்று எண்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் வகுபடும்”
இதில் x = y = z எனும்போது, பெர்மா இறுதி தேற்றத்தை பெற்றுவிடலாம். இந்த முடிவை கணித உலகம், 'பொது பெர்மா சமன்பாடு', 'மவுல்டின் ஊகம்' (Mauldin Conjencture), 'திஜ்டீமான் - ஜேகியர் ஊகம்' (Tijdeman - Zagier Conjecture) எனப் பல பெயர்களில் அழைக்கிறது.
பீல் கணிதத்தில் பெரும் புலமை பெற்றவர் அல்ல. அதனால், அவரால் அவரது ஊகத்தை நிரூபிக்க இயலவில்லை. எனினும், இதை முதலில் தீர்ப்பவருக்கு பெரிய பரிசுத் தொகை அளிப்பதாக அவர், 1997ஆம் ஆண்டில் அறிவித்தார். ஆண்டுகள் செல்லச் செல்ல இந்த பரிசுத் தொகை அதிகரித்து இன்று ஒரு மில்லியன் அமெரிக்க டாலர்களாக உயர்ந்துள்ளது. இருந்தும் இன்று வரையில் இதற்கான நிரூபணத்தையோ அல்லது இதை பிழையென தெரிவிக்கவோ எவராலும் முடியவில்லை. உலகளவில் பல கணித அறிஞர்கள் இதற்கான தீர்வைத் தேடி போராடுகின்றனர்.